高等工程數學

簡介

本書是根據作者歷年來講授高等工程數學課程的講義綜理成章，編撰而成，旨在提供一本適合大學部高年級生與研究生簡明嚴謹而深入淺出的中文課本。
全書共六章，取材以解析工程物理問題的偏微分方程式數學模式、複變函數理論以及變分法與應用為主，前三章為有關的數學預備知識。本書著重闡明基本概念與推演延伸的理論，以及解析數理問題的思路與方法，兼顧理論與應用、章節的連貫性、起承轉合與前後呼應。
本書設定讀者具備解析常微分方程式、矩陣運算與向量分析等大學部基本工程數學基礎，必要的數學知識在各章節適時補充闡明，習題多為輔助讀者理解內文的問題與註解，以期溫故知新，有助融會貫通，並啟發研習的興趣。

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目次

序言
第1章　多變數函數與向量微積分概要
1.1. 單變數函數之微分
1.2. 單變數函數之積分
1.3. 瑕積分
1.4. 均值定理
1.5. 單變數函數之泰勒級數
1.6. 單變數函數之極值
1.7. 多變數函數之偏導數與全微分
1.8. 偏微分連鎖律
習題一
1.9. 高階偏導數、偏微分運算子
習題二
1.10. 隱函數之偏導數、Jacobian行列式、函數相關
習題三
1.11. 多變數函數之泰勒級數
習題四
1.12. 多變數函數之極值
1.13. 在約束條件下多變數函數之極值、Lagrange乘子法
習題五
1.14. 對積分式內變數之微分、萊布尼茲法則與應用
1.15. 向量分析概要
1.16. 聯立線性常微分方程式的矩陣解法
1.16.1. 齊次線性系統
1.16.2. 非齊次線性系統
習題六
第2章　曲線座標
2.1. 空間之點線面的函數形式
2.2. 曲線座標與變數變換
2.3. 曲線座標之度量係數、基向量、弧元素
習題一
2.4. 曲面元素
2.5. 體積元素
2.6. 積分式之變數變換、Jacobian行列式
習題二
2.7. 質點之空間運動
2.8. 曲線座標之梯度、散度、旋度、Laplacian
2.9. 圓柱座標與球面座標之基本幾何元素與公式
習題三
第3章　傅立葉級數與傅立葉變換
3.1. 週期函數與正交函數
3.2. 函數週期為2π之傅立葉級數
習題一
3.3. 傅立葉級數之收斂與逐項運算
習題二
3.4. 任意週期函數之傅立葉級數
3.5. 偶函數與奇函數之傅立葉級數
3.6. 半幅展開式、傅立葉正弦級數、傅立葉餘弦級數
習題三
3.7. 複數形式之傅立葉級數、傅立葉指數級數
3.8. 應用例
習題四
3.9. Sturm-Liouville問題、廣義傅立葉級數
3.9.1. Sturm-Liouville問題特徵解之性質
3.9.2. Bessel 函數之正交性
3.9.3. Legendre函數之正交性
3.9.4. 四階常微分方程式之Sturm-Liouville問題
3.10. 均勻收斂
習題五
3.11. 最小平方差法、傅立葉級數之部分和
習題六
3.12. 傅立葉積分
3.13. 傅立葉變換
3.14. 導數之傅立葉變換
3.15. 有限區間之傅立葉變換
3.16. 傅立葉變換與Laplace變換
習題七
第4章　偏微分方程式與數理問題之解析
4.1. 工程物理問題之數學模式
4.2. 偏微分方程式之通解形式
習題一
4.3. 一階準線性偏微分方程式之通解
習題二
4.4. 線性齊次偏微分方程式之通解
4.5. 一維波動方程式之d’Alembert解
習題三
4.6. Laplace方程式與解之唯一性
4.7. 以分離變數法解Laplace方程式
4.7.1. 直角座標之Laplace方程式
4.7.2. 極座標之Laplace方程式
4.7.3. Poisson’s積分式
4.7.4. 球面座標之Laplace方程式
習題四
4.8. 傳導方程式
4.8.1. 固體內熱傳導
4.8.2. 解之唯一性
4.9. 以分離變數法解傳導方程式
4.9.1. 一維傳導方程式
4.9.2. 直角座標之傳導方程式
4.9.3. 極座標之傳導方程式
4.9.4. 圓柱座標之傳導方程式
4.9.5. 球面座標之傳導方程式
習題五
4.10. 波動方程式
4.10.1. 弦索之振動
4.10.2. 長桿之軸向自由振動
4.10.3. 薄膜振動
4.10.4. 解之唯一性
4.11. 以分離變數法解波動方程式
4.11.1. 一維波動方程式
習題六
4.11.2. 直角座標之波動方程式
4.11.3. 極座標之波動方程式
習題七
4.12. 雙諧和方程式之分離變數解
4.12.1. 直角座標之雙諧和方程式
4.12.2. 極座標之雙諧和方程式
4.13. 非齊次偏微分方程式與非齊次邊界條件
習題八
4.14. 積分變換法
4.14.1. Laplace變換之應用
習題九
4.14.2. 傅立葉變換之應用
習題十
4.15. 梁之振動
習題十一
第5章　複變函數理論與應用
5.1. 複數代數
5.2. 複數的幾何意義與極座標形式、Euler公式
習題一
5.3. 解析函數
5.3.1. 解析函數的定義、Cauchy-Riemann方程式
5.3.2. 基本解析函數
5.3.3. 解析函數之基本性質
習題二
5.4. 複變函數之線積分
5.5. Cauchy積分定理
習題三
5.6. Cauchy積分公式
習題四
5.7. Taylor級數
5.8. Laurent級數
5.9. 實用的級數展開法
習題五
5.10. 多值函數
5.10.1. 開根號的複變函數之多值性
5.10.2. 對數函數與反三角函數之多值性
習題六
5.11. 解析函數之奇異點
5.12. Cauchy留數定理
習題七
5.13. 以圍線積分求實函數之定積分
習題八
5.14. 線積分之極限定理
習題九
5.15. 多值函數之圍線積分
習題十
5.16. Laplace 反變換
5.16.1. 單值函數之 Laplace 反變換
5.16.2. 多值函數之 Laplace 反變換
習題十一
5.17. 保角映射與圖影變換
5.18. 基本圖影映射
習題十二
5.19. Schwarz-Christoffel變換
習題十三
5.20. 近似圖影變換
5.21. 實用的映射函數
5.22. 曲線座標與圖影映射
5.23. 保角映射下 Laplace 方程式之解析
習題十四
第6章　變分法與應用
6.1. 變分問題
6.2. 變分之基本性質與運算
6.3. 泛函數之極值
6.4. 範例
6.5. 含高階導數之泛函數
6.6. 含數個因變數之泛函數
6.7. 含二個以上自變數之泛函數
6.8. 在約束條件下之泛函數、Lagrange乘子法
6.9. Hamilton原理、Lagrange方程式
6.10. 梁之撓度與振動
6.11. 等效變分問題
6.12. 變分的直接解法、Ritz法與Galerkin法
6.13. 應用例
6.14. 結語
習題
參考書目
索引